Сложение матриц.

Суммой двух матриц  A = || a_ij|| ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b_ij|| ,где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)  одних и тех же порядков m и n называется матрица С = || c_ij||  (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n) тех же порядков m и n, элементы с_ij  которой определяются по формуле

c_ij= a_ij+ bij,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)           (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением.

=

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы  A = || a_ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   на вещественное число k, называется матрица  B = || b_ij||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:  

b_ij=k* a_ij,   где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   (1.3)

Замечание. 

Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n естественно назвать такую матрицу С тех же порядков m и n, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

 

Произведение матриц или перемножение матриц.

Произведением матрицы A = || a_ij|| ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу В = || b_ij|| , где (i = 1, 2, ..., n ,  j=1, 2, ..., p), имеющую порядки, соответственно равные n и p, называется матрица С = || c_ij||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., p), имеющая порядки, соответственно равные т и p элементы  которой определяются по формуле:

  

где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p)      (1.4)

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А * В.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы  А на матрицу В: элемент c_ij стоящий на пересечении і-й строки и j-го столбца матрицы С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.